ಅಯೋಟಾ (i) ಎಂದರೇನು?

 ಅಯೋಟಾವನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಂಬರ್ ಲೈನ್ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ನೆನಪು ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಅನುಕೂಲ.

ಇದು ನಂಬರ್ ಲೈನ್.

ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ನೆಗೆಟಿವ್ ಅಂಕೆಗಳಿವೆ.

ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಂಕೆ ಬಲದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ; ನೆಗೆಟಿವ್ ಅಂಕೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಂಕೆ ಎಡದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನೆಗೆಟಿವ್ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಂಕೆ ಎಡದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ; ನೆಗೆಟಿವ್ ಅಂಕೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಂಕೆ ಬಲದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದಾದರೂ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿ ಇದ್ದು ಅದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಂಕಿ 90 ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗಿ ಬೇರೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋದರೆ ಎಷ್ಟು ಚೆಂದ ಅಲ್ಲವೇ! ಆ ತರಹದ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಯೇ ಅಯೋಟಾ. ಇದನ್ನು i ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

***

ಬೇರೆ ಶಬ್ದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು i ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಉತ್ತರ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1i , 2i, 3i...

***

ಈ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ i ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತೆ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ x ಅಕ್ಷದ ಎಡಗಡೆಗೆ (ಪಶ್ಚಿಮ ದಿಕ್ಕಿಗೆ) ನೆಗೆಟಿವ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1i^2, 2i^2, 3i^2,...

ಇದರ ಅರ್ಥ 1i^2 = -1 (ಅಂದರೆ i^2 = -1)

2i^2 = -2

3i^2 = -3

ಇತ್ಯಾದಿ.

i^2 ಇಂದ ಗುಣಿಸುವುದೆಂದರೆ -1 ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಹಾಗೆ. ಬೇರೆ ಶಬ್ದಗಳಲ್ಲಿ i^2 = -1. ಆದ್ದರಿಂದ i = √-1.

***

ನೆಗೆಟಿವ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು i ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ ಅಂದರೆ y ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗಡೆಗೆ ದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1i^3, 2i^3, 3i^3,...

ಇದರ ಅರ್ಥ 1i^3 = -1i

2i^3 = -2i

3i^3 = -3i

ಇತ್ಯಾದಿ.

i^3 ಇಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು -i ಇಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎರಡೂ ಒಂದೇ. ಎರಡರ ಪರಿಣಾಮವೂ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 270 ಡಿಗ್ರಿಯ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣೆ ಅಥವಾ 90 ಡಿಗ್ರಿಯ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣೆ ಮಾಡಿಸಿದ ಹಾಗೆ.

-1i ತರಹದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ i ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತೆ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ x ಅಕ್ಷದ ಬಲಗಡೆಗೆ ಪೂರ್ವ ದಿಕ್ಕಿನ ಪಾಸಿಟಿವ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

1i^3 * i = (-1i)*i = -1 * -1 = +1

2i^3 * i = -2i*i = -2 * -1 = +2

3i^3 * i = -3i*i = -3 * -1 = +3

ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅಯೋಟಾ ಇರುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ(ರಿಯಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟು ಸತ್ಯವೋ ಅಷ್ಟೇ ಸತ್ಯ. ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದೆ ಇಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ (ಕಾಲ್ಪನಿಕ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆದರು. ಆ ತಪ್ಪು ಹೆಸರೇ ಈಗಲೂ ಉಳಿದುಕೊಂಡು ಬಿಟ್ಟಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1+2i, 3+I, 5–7i, a+bi ಇತ್ಯಾದಿ.

1+1i, 2+2i, 3+3i ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 45 ಡಿಗ್ರಿ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ.

a+bi ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಡಿಗ್ರಿಯ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.