ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಂದರೆ Modern Algebra ಅಥವಾ Abstract Algebra. ಇದನ್ನು ನಾನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಲಿತಿಲ್ಲ. ಯಾರಾದರೂ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಲಿತಿರುವವರು ಇದಕ್ಕೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಉತ್ತರ ಬರೆಯಲಿ ಎಂಬ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಇದೆ.
ಆದರೂ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಪೀಠಿಕೆ ಕೊಡುತ್ತೇನೆ.
ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮುಖ್ಯವಾದ ಎಳೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಮಿಕ್ಕಿದ್ದರ ಬಗ್ಗೆ ಉದಾಸೀನ ಮಾಡುವುದೇ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಸ್ವರೂಪ.
ಘಟನೆಗಳು ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಬಿಡಿಯಾಗಿ ನೋಡದೆ ಅವುಗಳ ಹಿಂದಿನ ಒಟ್ಟಾರೆ ತತ್ವವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವದನ್ನು ಅಮೂರ್ತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾವಿರಾರು ಶಬ್ದಗಳು ಇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಕೆಲವೇ ಡಜನ್ ವರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಅಮೂರ್ತತೆ.
ಯಾವುದೇ ಕೋಟ್ಯಂತರ ವಾಕ್ಯಗಳಿವೆ. ಅವೆಲ್ಲದರ ಹಿಂದೆ ವ್ಯಾಕರಣ ಎಂಬ ತತ್ವ ಇದೆ. ವ್ಯಾಕರಣ ಎಂಬುದು ಭಾಷೆಯ ಅಮೂರ್ತತೆ.
ಕೋಟ್ಯಂತರ ಹಾಡುಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹನ್ನೆರಡೇ ಸ್ವರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಮೂರ್ತತೆ. ಕೆಲವೇ ಡಜ಼ನ್ ರಾಗಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದೂ ಕೂಡಾ ಅಮೂರ್ತತೆ.
ವಿಶ್ವದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಸುಮಾರು 118 ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಇವೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಮೂರ್ತತೆ. ಇವೆಲ್ಲವುಗಳ ಪರಮಾಣುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ತರಹದ — ಪ್ರೋಟಾನ್, ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಇತ್ಯಾದಿ — ಕಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಮೂರ್ತತೆ.
ನಿಜಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೆಲ್ಲಾ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೆ, ತ್ರಿಕೋನ, ಚೌಕ, ಗೋಳ, ಘನ ಇತ್ಯಾದಿ ಕೆಲವೇ ರೂಪಕಗಳ ಮೂಲಕ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತತೆ. ನಿಜಜೀವನದ ಆಕಾರಗಳು ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿಯ ರೂಪಕಗಳನ್ನು ನೂರಕ್ಕೆ ನೂರರಷ್ಟು ಹೋಲುವುದೂ ಇಲ್ಲ.
Analytic geometry ಎಂಬುದು geometryಯ ಅಮೂರ್ತತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಎಷ್ಟೆಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವು ಜನರೋ, ಕುರಿಗಳೋ, ಕೇಜಿಗಳೋ, ಲೀಟರುಗಳೋ, ಮೀಟರುಗಳೋ, ರೂಪಾಯಿಗಳೋ, ಗಂಟೆಗಳೋ, ಏನೇ ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಅವುಗಳೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯ ಆಗುವ ಹಾಗೆ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು 0, 1, 2, 3 ಎಂದೆಲ್ಲಾ ತೋರಿಸುತ್ತೇವಲ್ಲ. ಅದು ಅಮೂರ್ತತೆ. ಈ ಅಮೂರ್ತತೆ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡೇ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತ ರೂಪ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು x, y, z ಮುಂತಾದ ರೂಪಕಗಳ ಮೂಲಕ ಬಿಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದರೆ ಕೇವಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದಲ್ಲ. ಅನೇಕ ತರಹದ ಅಮೂರ್ತ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಹುಡುಕಿ ಅವುಗಳೆಲ್ಲವನ್ನು ಇಡಿಯಾಗಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅನಿಸುವ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಹುಡುಕುವುದಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಮನುಷ್ಯ, ಹಂದಿ, ಹಸು, ಹುಲಿ, ಕತ್ತೆ, ಕುದುರೆ ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಾಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸಮಾನತೆ ಏನೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಮರಿ ಹಾಕುತ್ತವೆ, ಹಾಲು ಕುಡಿಸುತ್ತವೆ.
ಮರಿ ಹಾಕಿ ಹಾಲುಣಿಸುವುದನ್ನು ಒಂದು structure ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರೆ ನೂರಾರು ಜಾತಿಯ ಸಸ್ತನಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ.
ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ, x y z ಚಿನ್ಹೆಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ರೂಬಿಕ್ ಕ್ಯೂಬಿನ ಸಾವಿರಾರು ತರಹದ ಚಲನೆಗಳಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಕಾಂಬಿನೇಷನ್ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಕ್ರಿಸ್ಟಲುಗಳ ಆಕಾರಗಳಾಗಿರಬಹುದು.
ಹೀಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಧವಿಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು structures ಎಂದು ಅಮೂರ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದೇ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ.
ಇಂತಹ ಕೆಲವು structures ಏನೆಂದರೆ ಗ್ರೂಪ್, ರಿಂಗ್, ಫೀಲ್ಡ್, ಮಾಡ್ಯೂಲ್, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಇತ್ಯಾದಿ.
ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್, ಸ್ಟಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಮುಂತಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಸರಿಮಗ್ಗಲಿನ (symmetry ಯ) ಮಹತ್ವ ಇರುವ ಕಡೆಯೆಲ್ಲಾ ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೂಬಿಕ್ ಕ್ಯೂಬ್, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹರಳುಗಳು, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋಶಿಕೆಗಳ ಜೀವನಚಕ್ರ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಸ್ಪಿನ್, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ರೋಬೋಟಿಕ್ಸ್ ಇತ್ಯಾದಿ.
